算数問題で忘れがちなところなのでメモです。

問題：１辺１cmの立方体を図のように並べ対角線となるAGを通る線で串刺しにしました。
　　　串刺しにされていない立方体の体積は？

 

まず、、５×４×３＝６０　だから６０個以下だな。えーーと何だっけ？
えーーっと、左上はまず串刺しされ、次は、、、ん？
公式ってあったっけ？わすれた、、完全に躓きます。

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まず、平面の問題を考えてみます。

問題：正方形のタイルを図のようにきっちりとならべ、対角線でズバッと切り、２つの三角形に分かれます。
　　　そのとき、１つの三角形に「無傷の正方形」はいくつありますか？

んまあ、このぐらいならフリーハンドで綺麗な図形を描けたら数えるだけ。
答えは４つです。

 

でも数が多かったら、図形を描いて数える気が起きますか？（縦７１、横３７とかw）
この問題は、無傷の数を数えるのではなく、何枚が切られているかを考えます。

「縦の数」＋「横の数」ー１＝切られた数
という公式を知っていれば、切られた数＝５＋３ー１＝７とわかるので
無傷のタイルは、３×１５−７＝８
三角形は２つあるので、８÷２＝４　答え　４つ
となります。

 

「縦の数」＋「横の数」ー１＝切られた数
を忘れていなければ良いのですが、忘れちゃった時の考え方。

まず右上（または左下でもヨシ）の□は必ず切られます。
そして切った線は縦方向、または横方向の辺１つを通過して、お隣に移動していきます。
移動する時に通過する辺は下図のように、縦方向に４カ所、横方向に２カ所であることがわかります。
縦なら、５つ並べたタイルの間なので５−１です。
横なら、３つ並べたタイルの間なので３ー１です。

「切られた数」＝「最初の１」＋「縦の数−１」＋「横の数−１」＝「縦の数」＋「横の数」ー１

 

 

しかしながら、これは「格子点」を通らないという条件の元のみです。
タイルが縦に１２枚、横に９枚なら、
１２：９＝４：３
１２÷３＝４
９÷３＝３

ですので、縦４枚、横３枚というのが３ブロックあると感がえます。
赤で括ったひとつのブロックで
４＋３−１＝６
３ブロックあるので
６×３＝１８

ですので、切られているタイルは１８枚
切られていないタイルは１２×９ー１８＝１０８−１８＝９０
切られていないタイルは全部で９０枚
もし、三角形１つの数を聞かれたのなら４５枚ですね。

 

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ということで、最初の問題に戻ります。
立体ですので、A – Gを通過する線は今通過したサイコロの１つの面から次の面を刺すことになります。
（辺ではなく面ですが、串刺しの線が１度に他の２面を同時に通過することはあり得ません）

また並んでいるサイコロの数は３、４、５　ですから（最大公約数が１ですから）、串刺しの線は必ず次の面を通過します。

従って、Aから串刺ししていった場合、次のサイコロの必ず（下か、手前か、横か）の１面を串刺しにしながら突き進むことになります。

ということで、
まずは、最初のAがあるサイコロを串刺しし、、
下方向には「３つー１」
右方向には「５つー１」
手前方向に「４つー１」
つの面を通過することとなります。
従って、合計：１＋（３−１）＋（５−１）＋（４−１）＝１０

１０個のサイコロを串刺しにしてます。
ということで、串刺しにされていないサイコロは６０−１０＝５０
１つ１立方センチメートルなので、答えは５０立方センチメートル

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平面の場合
    X＋Y−１　とは覚えず
１＋（ X−１）＋（ Y−１）

立方体の場合
    X＋Y＋Z − 2　とは覚えず
１＋（ X−１）＋（ Y−１）＋（ Z−１）

と何度か図形を描きながら覚えたほうが良いでしょうね。

ということで、サイコロが縦４こ、横６こ、奥に５こなら複雑です。
縦２こ、横３こ、奥に５　のブロックを２つと考えます。
１＋（ ２−１）＋（ ３−１）＋（ ５−１）＝８
これが２つあるので、８×２＝１６
全体が４×６×５＝１２０個あるので、１２０ー１６＝１０４
答えは１０４立方センチメートル

もうココまで来ると「感性」がないとダメかも。