久々の数学問題です。
中３になると「へぇ〜」って思います。
多分来年からは話題にもついていけません涙
で、以下興味のない方はパスしてください笑

√(560 – 7n) が整数となる自然数ｎをすべて求めなさい

その１
560 – 7n = A と考えると　√A　が整数っていうんだから　Aは何かの２乗だ

その２
だから(560 – 7n) ＝０²、１²、２²、３²、４²、、、に
すなわち(560 – 7n) ＝０，１，４，９，１６，、、ということだ

その３
560 – 7n＝7（80 – n ）であるから、それが何かの２乗だから
80 – n＝７✕n’² ってことだよ
だって、７が１つあるんだからもう１つ７が無いとね
７ ✕ ７ ✕ とある数字n’ ✕ とある数字n’
ここでは「とある数字」を n’（エヌダッシュ）にしたけど見直すときに間違えるから別の文字にしたほうが良いかもね。
ちなみに高校ぐらいになると「任意の整数をn’とする」とか前提書かないとバツもらいます。

その４
あとは順番に当てはめて、確かめ算もしてみよう！！
■　n’ = 0 のとき　80 – n＝７✕０²
　　80 – n＝0
⇒　n＝80
⇒　560 – 7n＝560 – 560 = 0 = 0 ×０ で正しい
■　n’ = 1 のとき　80 – n＝７✕1²
　　80 – n＝7
　　⇒　n＝73
⇒　560 – 7n＝560 – 511 = 49 = 7 ×7 で正しい
■　n’ = 2 のとき　80 – n＝７✕２²
　　80 – n＝28
⇒　n＝52
⇒　560 – 7n＝560 – 364 = 196 = 14 ×14 で正しい
■　n’ = 3 のとき　80 – n＝７✕３²
　　80 – n＝63
　　⇒　n＝17
⇒　560 – 7n＝560 – 119 = 441= 21 ×21 で正しい
■　n’ = 4 のとき　80 – n＝７✕４²
　　80 – n＝112
⇒　n＝ – 37 だから　n’ が 4以上のときは考えなくて良い

ってことで、答えは　８０，７３，５２，１７

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実は、ワスは問題を見たときに「Excel使えば簡単じゃん」と思ってたんですけど「何かの２乗であるという数」がせいぜい１３²＝１６９ぐらいまでしか出てこないってことがネックでした。560 – 7n までExcelで出しといて「２乗の数一覧」で手元にあれば便利だったんですけどね。

ちなみに２桁までの２乗なら　 a²＋b²＝a²＋2ab＋b²　を使えば何とか暗算でできます。
２８²＝２０²＋２・２０・８＋８²＝４００＋３２０＋６４＝７８４って感じに。