久々の数学問題です。
中３最後の定期テストの最終問題です。
問題文はこんな感じ

y=3/4xのグラフ上に点P,Qがある。
点Aは（８，０）である。
△PQAが正三角形になるときPQの長さは？

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まず単位が無いんですよね。座標軸の１つは１cmとか規定してくれると嬉しいんですけど。
だから回答はナントカcm とかじゃあなくナントカだけになるんですね。
長さは？って聞かれてるのに数値だけって良いんだろうか？？
単位が無いと「長さ」にならないじゃん。
ワスは「何か嫌」です。　君の身長は？って聞かれると「１７０」って答えるのと一緒で１７０mかも知れないじゃん。
ん、、身長なら予想はつくけど「昨日の気温は３２だったから寒かったね！」「華氏か！！」って。

まあとにかくです。ワスは感覚的に「y=3/4x」と言われると『答えは５』と予想つけちゃいます。だって３：４：５の直角三角形を思い出すじゃあないですか。
だから答えは５！！　　、、、違うんだってさ。

ちょっと脱線します。
ワスは大学生の頃、ハンドボール部に属していました。当時は主に外で練習してました。白線が消えちゃうので直角を図るのに２０m のメジャーを引っ張り出しては３m ４m ５mを利用して直角を求めてたんですよね。
でね、ある日某先輩がワスにこう言うんですよ。「ヨシダよう、、長さが長い方が正確な直角にならないか？」って。まあ確かにそうです。で、ワスは思うわけです。メジャーは２０mなので、１：１：√２を利用して２０mを最大限使うとして１の部分は２０を３,41421356で割って、、嗚呼メンドクサ！！
「せんぱーい、電卓もないし無理っすよぉ〜」
先輩はすかさず言います。
「馬鹿だな〜ヨシダ。そんなの暗算じゃん、それぞれ２mづつ足して５m ６m ７m に、、、」

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気を取り直して考えます。
で、次の図のように点B（８，６）と　点Aを通って y=3/4x に垂直に交わる点を点Cとして考えACの長さを求めましょう、そうしましょう。で、三角形AQCが３０°　６０°　９０°であることを利用しましょう。

三角形AOBは底辺８高さ６の直角三角形だから面積は２４です。
で三角形AOBは先の３：４：５を思い出してみるとわかるんですけどOBが１０になるんですよね。
一応計算しますと６^2 ＋ ８^2　＝３６＋６４＝１００　したがってOB＝１０です。

次に、底辺がOB の三角形の高さはCAってことになるので　１０✕CA✕1/2=２４。だから　CA=24/5　です。
三角形QCAは　∠３０°　∠６０°　∠９０°　の三角形ですので　
QC：AQ：CA＝１：２：√３　より　AQ：CA＝２：√３　→　AQ：24/5＝２：√３　→　AQ=24/5✕２÷ √３
で、答えは 16√３/5（５分の１６・ルート３）ですね。

∠３０°　∠６０°　∠９０°　の三角形　の辺の長さの比を知らなければ出来ない問題でした。